Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Pengertian, Rumus, dan Contohnya) – Dalam pembahasan kali ini saya akan menjelaskan tentang cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak. Sebelum itu kita harus mengetahui pengertian dari nilai mutlak itu sendiri. Apa itu nilai mutlak? Pengertian nilai mutlak adalah nilai dalam sebuah bilangan riil Matematika yang tidak menggunakan tanda minus atau tanda plus. Untuk itu nilai mutlak sering disebut sebagai nilai absolut atau modulus.
Nilai mutlak ini secara umum dapat dilambangkan dengan tanda dua garis yang mengapit sebuah persamaan. Jika besar nilai yang diapit oleh tanda nilai mutlak lebih dari nol maka fungsi nilai tersebut adalah positif. Maka dari itu fungsi nilainya akan negatif jika nilai mutlaknya kurang dari nol. Seperti yang telah kita ketahui bahwa nilai mutlak tersebut dapat berbentuk persamaan ataupun pertidaksamaan.
 |
| Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak |
Apabila besar nilai yang diapit oleh tanda nilai mutlak kurang dari nol maka fungsi nilai tersebut adalah negatif. Selain itu apabila dalam tanda mutlak tersebut diberikan nilai nol maka hasil nilainya juga nol. Dalam menyelesaikan persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak pada dasarnya berbeda. Hal ini dikarenakan kedua materi nilai mutlak ini memiliki pengertian dan cara yang berbeda beda. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak di bawah ini.
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Pengertian, Rumus, dan Contohnya)
Persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak dapat ditinjau dari segi geometri. Penulisan nilai mutlak x ialah | x |, yaitu x memiliki jarak menuju 0 pada garis bilangan real. Maka dari itu jaraknya selalu nol atau positif sehingga menyebabkan besar nilai mutlak x adalah positif atau nol untuk setiap x yang termasuk dalam bilangan real.
Nilai mutlak x secara formal dapat didefinisikan menjadi:
Baca juga : Cara Menggambar Diagram Venn Beserta Contohnya
Selain itu juga dapat ditulis menjadi seperti di bawah ini:
| x | = x, jika x ≥ 0
| x | = x, jika x < 0
Untuk itu persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak dapat didefinisikan menjadi seperti di bawah ini:
Nilai mutlak bilangan nol atau positif merupakan bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak bilangan negatif merupakan lawan bilangan tersebut.
Misalnya,
| 0 | = 0, | 5 | = 5, | -5 | = -(-5) = 5
Maka dari itu setiap bilangan real akan bernilai nol atau positif dalam persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak.
Selain itu persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak juga dapat dinyatakan dalam bentuk akar bilangan kuadrat. Berikut bentuk nilai mutlak dalam akar bilangan kuadratnya:
| x | = √x²
Persamaan Nilai Mutlak
Dalam menyelesaikan persamaan nilai mutlak tersebut biasanya menggunakan definisi di atas. Contohnya:
| x | = 2
Maka persamaan nilai mutlaknya ialah | x | = 2 atau | x | = -2
Dalam menyelesaikan persamaan tersebut terdapat hasil nilai mutlak yaitu bilangan 2 atau -2. Hal ini dikarenakan hasil dari kedua bilangan nilai mutlak tersebut sama yaitu 2 (dengan tanda positif).
Kita juga dapat menyelesaikan persamaan nilai mutlak dengan menggunakan akar kuadrat x (√x²).
Maka:
| x | = 2
√x² = 2
x² = 2²
x² – 2² = 0
(x – 2) (x + 2) = 0
x = 2 atau x = -2
Baca juga : Materi Grafik Fungsi Trigonometri (Sin, Cos, Tan) Lengkap
Cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak secara umum dapat menggunakan rumus dibawah ini:
| x | = a ↔ x = a atau x = -a
Apabila persamaan bilangannya dalam bentuk lain, maka untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak akan kembali menjadi bentuk umum di atas. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak contoh soal di bawah ini:
Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak
3|x| – 6 = 0
3|x| = 6
|x| = 6/3
|x| = 2
x = 2 atau x = -2
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Selanjutnya saya akan membahas tentang cara menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak. Cara menyelesaikannya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak yaitu menggunakan definisi di atas maupun menggunakan pengoperasian akar.
Cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak secara umum dapat menggunakan rumus dibawah ini:
| x | < a → -a < x < a
| x | > a → x < -1 atau x > a
Kesimpulan
Persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak dapat dijabarkan dalam bentuk umum seperti di bawah ini:
Untuk a > 0 berlaku persamaan
a. | x | = a ↔ x = a atau x = -a
b. | x | < a ↔ -a < x < a
c. | x | > a ↔ x < -a atau x > a
Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Agar anda lebih memahami mengenai materi persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak, maka saya akan membagikan beberapa contoh soal terkait nilai mutlak tersebut. Berikut contoh soal dan pembahasannya:
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari |3x – 6| = 3.
Jawab.
Menggunakan sifat a yaitu
|3x – 6| = 3
3x – 6 = 3 atau 3x – 6 = -3
3x = 9 atau 3x = 3
x = 3 atau x = 1
Jadi, HP = {3, 1}.
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari |3x – 1| = |2x + 6|.
Jawab.
Contoh soal persamaan nilai mutlak tersebut dapat diselesaikan dengan cara seperti di bawah ini:
Menggunakan sifat a yaitu
|3x – 1| = |2x + 6|
3x – 1 = 2x + 6 atau 3x – 1 = -(2x + 6)
x = 7 atau 5x = -5
x = 7 atau x = -1
Jadi, HP = {7, -1}.
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x – 4| < 8.
Jawab.
Contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak tersebut dapat diselesaikan dengan cara seperti di bawah ini:
Menggunakan sifat b yaitu
|2x – 4| < 8
-8 < 2x – 4 < 8
-4 < 2x < 12
-2 < x < 6
Jadi, HP = {-2 < x < 6}.
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x + 4| ≥ 8.
Jawab.
Menggunakan sifat c yaitu
|2x + 4| ≥ 8
2x + 4 ≤ -8 atau 2x + 4 ≥ 8
2x ≤ -12 atau 2x ≥ 4
x ≤ -6 atau x ≥ 2
Jadi, HP = { x ≤ -6 atau x ≥ 2}.
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari |3x – 3| ≥ |2x + 8|
Jawab.
Menggunakan sifat c yaitu:
|3x – 3| ≥ |2x + 8|
3x – 3 ≤ -(2x + 8) atau 3x – 3 ≥ 2x + 8
5x ≤ -5 atau x ≥ 11
x ≤ -1 atau x ≥ 11
Jadi, HP = { x ≤ -1 atau x ≥ 11}.
Baca juga : Perkalian Vektor (Macam, Rumus, Sifat, dan Contoh Soal)
Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Menggunakan Definisi
Dalam menyelesaikan persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak dapat menggunakan langkah langkah definisi. Penyelesaian ini digunakan untuk jenis nilai mutlak yang berbentuk linier (bentuknya |ax + b|). Maka dari itu untuk menyelesaikannya dapat menggunakan persamaan bentuk umum seperti di bawah ini:
|ax + b| = ax + b jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b) jika x < -b/a
Agar anda lebih memahami mengenai materi persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak dalam bentuk linier di atas, maka saya akan membagikan beberapa contoh soal terkait nilai mutlak tersebut. Berikut contoh soal dan pembahasannya:
1. Hitunglah penjabaran bentuk nilai mutlak di bawah ini:
a. |2x – 4|
b. |3x + 9|
Jawab.
a. |2x – 4|, maka:
|2x – 4| = 2x – 4, jika x ≥ 2
|2x – 4| = -(2x – 4), jika x < 2
b. |3x + 9|, maka:
|3x + 9| = 3x + 9, jika x ≥ -3
|3x + 9| = -(3x + 9), jika x < -3
2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |x – 3| = 3x + 1?
Jawab.
|x – 3| = x – 3, jika x ≥ 3
|x – 3| = -(x – 3), jika x < 3
Untuk x ≥ 3 maka:
|x – 3| = 3x + 1
x – 3 = 3x + 1
-2x = 4
-x = 2
x = -2
Karena nilai x ≥ 3, sehingga tidak memenuhi untuk x = -2.
Untuk x < 3 maka:
|x – 3| = 3x + 1
-(x – 3) = 3x + 1
-x + 3 = 3x + 1
-4x = -2
x = ½
Karena nilai x < 3, sehingga memenuhi untuk x = ½.
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan |x – 3| = 3x + 1 ialah x = ½.
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x + 2| > 4x – 7?
Jawab.
|x + 2| = x + 2, jika x ≥ -2
|x + 2| = -(x + 2), jika x < -2
Untuk x ≥ -2, maka:
|x + 2| > 4x – 7
x + 2 > 4x – 7
-3x > -9
x < 3
Irisan x ≥ -2 dengan x < 3 ialah -2 ≤ x < 3.
Untuk x < -2, maka:
|x + 2| > 4x – 7
-(x + 2) > 4x – 7
-x – 2 > 4x – 7
-5x > -5
x < 1
Irisan x < -2 dengan x < 1 ialah x < -2.
Jadi, HP = {x < -2 atau -2 ≤ x < 3}
= {x < 3}
Sekian penjelasan mengenai cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak. Menyelesaikan nilai mutlak tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan definisinya maupun menggunakan akar kuadrat. Namun untuk kategori nilai mutlak berbentuk linier menggunakan cara definisinya. Semoga artikel ini dapat bermanfaat dan selamat belajar.
