Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Beserta Contoh Soalnya

Diposting pada

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Beserta Contoh Soalnya – Dalam mata pelajaran Matematika terdapat pembahasan mengenai materi SPLTV. Apa pengertian SPLTV itu? Bagaimana cara menyelesaikan contoh soal SPLTV? Sistem persamaan tiga variabel tersebut merupakan salah satu materi Matematika yang dianggap sulit untuk beberapa orang. Pada dasarnya sistem persamaan linear digunakan untuk mendirikan bangunan menggunakan perhitungan Matematika dalam ilmu arsitektur. Selain itu adapula kegunaan sistem persamaan linear yaitu untuk mencari koordinat pada titik potong. Ketepatan dalam koordinat memang sangat penting untuk membuat sketsa bangunan. Inilah konsep kegunaan sistem persamaan dalam kehidupan sehari hari. 

Pengertian sistem persamaan linear ialah mengkorelasikan persamaan linear yang digunakan untuk membuat sebuah sistem. Dalam sistem persamaan ini terdapat variabel yang jumlahnya satu, dua atau lebih. Nah salah satu topik bahasan Matematika yang telah diajarkan di bangku sekolah ialah materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Pengertian SPLTV ialah sistem persamaan yang memiliki tiga variabel dengan pangkat satu. Untuk itu dalam sistem persamaan tiga variabel terdapat pangkat satu di ketiga jenis variabelnya. Apakah anda tahu bagaimana cara menyelesaikan contoh soal SPLTV itu? Materi sistem persamaan linear 3 variabel memiliki beberapa ciri ciri di dalamnya. 

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Beserta Contoh Soalnya
Cara Menghitung SPLTV

Ciri ciri persamaan linear 3 variabel merupakan salah satu pembeda dengan jenis sistem persamaan linear lainnya. Adapun karakteristik SPLTV yaitu menggunakan relasi sama dengan (=), memiliki tiga variabel, dan memiliki pangkat satu (derajat satu) pada ketiga variabelnya. Sistem persamaan tiga variabel memiliki hubungan dengan beberapa unsur atau komponen di dalamnya. Unsur unsur atau komponen komponen ini saling berkaitan satu sama lain. Pada kesempatan kali ini saya akan menjelaskan tentang sistem persamaan linear tiga variabel beserta contoh soal SPLTV. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak di bawah ini.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Beserta Contoh Soalnya

Seperti yang telah saya jelaskan di atas bahwa dalam sistem persamaan linear 3 variabel terdapat beberapa unsur di dalamnya. Unsur unsur sistem persamaan 3 variabel ini dapat berupa variabel, konstanta, suku dan koefisien. Suku merupakan bagian dalam aljabar yang berbentuk koefisien, konstanta dan variabel. Untuk memisahkan setiap suku pada dasarnya menggunakan operasi pengurangan ataupun penjumlahan. Kemudian adapula variabel yang merupakan pengganti atau peubah bilangan yang berbentuk huruf seperti x, y dan z.

Baca juga : Rumus Geometri Bidang Ruang Lengkap Dengan Pembahasan

Lalu adapula koefisien yang merupakan bilangan yang menjelaskan jumlah atau banyaknya variabel sejenis. Koefisien ini biasanya terletak di bagian depan variabel, sehingga penulisannya pasti ada di depan variabelnya. Konstanta ialah bilangan yang tidak disertai dengan variabel, sehingga nilai yang dimiliki konstan atau tetap berapapun nilai peubah atau variabelnya. Dalam materi sistem persamaan linear tiga variabel terdapat beberapa persamaan di dalamnya yang memiliki variabel berjumlah tiga buah. Persamaan tiga variabel ini memiliki bentuk umum seperti berikut:

ax + by + cz = d

Dalam bentuk umum SPLTV tersebut terdapat bilangan real yang dinotasikan dalam huruf a, b, c, dan d, dimana nilainya bukan nol (0). Untuk menyelesaikan contoh soal persamaan linear 3 variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara. Selain itu dalam materi SPLTV juga tersedia himpunan penyelesaian sistem persamaan tiga variabel yang bernilai x, y dan z. Cara menentukan SPLTV dapat dilakukan dengan dua cara yaitu metode eliminasi maupun metode substitusi. Berikut penjelasan mengenai masing masing metode yaitu meliputi:

Metode Substitusi

Cara menentukan sistem persamaan 3 variabel yang pertama yaitu dengan metode substitusi. Pengertian metode substitusi ialah metode penyelesaian sistem persamaan linear yang menggunakan salah satu nilai variabel dari persamaan yang satu untuk disubstitusikan menuju persamaan lainnya. Metode ini digunakan hingga nilai variabel semuanya dalam SPLTV dapat diperoleh. Dalam SPLTV ini memang lebih mudah menggunakan metode substitusi karena koefisien yang termuat dalam persamaan ini dapat berupa 1 atau 0. Adapun cara menyelesaikan contoh soal SPLTV menggunakan metode substitusi yaitu sebagai berikut:

  • Langkah pertama yaitu membuat persamaan yang dimiliki dapat berbentuk sederhana. Bentuk sederhana dari persamaan tersebut harus mempunyai koefisien 0 atau 1.
  • Kemudian salah satu variabelnya dinyatakan dalam bentuk dua variabel lainnya. Misalnya pernyataan variabel x yang berbentuk variabel y maupun z.
  • Setelah itu nilai variabelnya disubstitusikan menuju persamaan SPLTV. Dengan begitu hasil akhirnya akan berbentuk SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel).
  • Selantunya menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) tersebut.
  • Jika sudah, lalu semua variabel yang belum diketahui nilainya mulai dicari.

Agar anda lebih mudah memahami mengenai metode substitusi dalam materi SPLTV ini. Maka saya akan membagikan contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel beserta pembahasannya yaitu sebagai berikut:

Baca juga : Materi Hiperbola Matematika Beserta Rumus dan Contoh Soal

Hitunglah himpunan penyelesaian dari SPLTV di bawah ini:
x + y + z = -8
x – 3y + z = 4
-2x + y + z = 10

Pembahasan.
Contoh soal SPLTV tersebut dapat diselesaikan dengan langkah langkah seperti di bawah ini:
x + y + z = -8 . . . (persamaan 1)
x – 3y + z = 4 . . . (persamaan 2)
-2x + y + z = 10 . . . (persamaan 3)

Kemudian mengubah persamaan 1 menjadi seperti berikut:
x + y + z = -8
             z = -x – y – 8 . . . (persamaan 4)

Lalu persamaan 4 disubstitusikan menuju persamaan 2 seperti berikut:
               x – 3y + z = 4
x – 3y + (-x – y – 8) = 4
     x – 3y – x – y – 8 = 4
                    -4y – 8 = 4
                         -4y = 4 + 8
                         -4y = 12
                            y = -3

Langkah berikutnya yaitu persamaaan 4 substitusikan menuju persamaan 3. Untuk itu cara menyelesaikan contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel nya dapat seperti berikut:
               -2x + y + z = 10
-2x + y + (-x – y – 8) = 10
     -2x + y – x – y – 8 = 10
                      -3x – 8 =10
                           -3x = 10 + 8
                           -3x = 18
                              x = -6

Dari metode substitusi sistem persamaan linear 3 variabel di atas, dapat kita peroleh nilai x = -6 dan y = -3. Kemudian mencari nilai z nya dengan cara seperti di bawah ini:
z = -x – y – 8
   = -(-6) – (-3) – 8
   = 6 + 3 – 8
   = 1
Jadi himpunan penyelesaian SPLTV (x, y, z) = (-6, -3, 1).

Metode Eliminasi

Cara menentukan sistem persamaan linear tiga variabel selanjutnya yaitu dengan metode eliminasi. Pengertian metode eliminasi ialah metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan membuat salah satu variabel dari dua persamaan menjadi hilang. Pelaksanaan metode ini digunakan hingga hanya terdapat satu variabel saja yang tersisa. Metode eliminasi pada materi SPLTV ini memiliki langkah langkah yang cukup panjang, karena setiap variabel dalam persamaannya harus dihilangkan. Namun biasanya metode persamaan tiga variabel ini sering digabungkan dengan metode substitusi di atas. Adapun langkah langkah melakukan metode eliminasi yaitu sebagai berikut:

  • Dalam SPLTV ini terdapat tiga persamaan yang dapat kita amati. Jiika terdapat koefisien dalam variabel yang sama memiliki persamaan nilai, maka kita hanya cukup menjumlahkan atau mengurangi kedua persamaan tersebut sampai koefisien variabelnya menjadi 0.
  • Namun apabila koefisien variabel dalam persamaan tidak ada yang sama, maka kedua persamaan tadi dikalikan dengan bilangan tertentu agar kedua persamaan tadi memiliki koefisien variabel yang sama.
  • Langkah di atas dilakukan lagi pada pasangan persamaan lannya. Langkah tersebut bertujuan untuk menghilangkan variabelnya dengan menyabakan koefisiennya.
  • Setelah memperolej nilai dua varibel, kemudian kita dapat mensubstitusikannya pada salah satu persamaan SPLTV agar nilai variabel yang terakhir dapat diperoleh.

Baca juga : Rumus Integral Parsial dan Integral Substitusi Beserta Contoh

Agar anda lebih mudah memahami mengenai metode eliminasi dalam materi SPLTV ini. Maka saya akan membagikan contoh soal sistem persamaan linear 3 variabel beserta pembahasannya yaitu sebagai berikut:

Hitunglah himpunan penyelesaian dari SPLTV di bawah ini:
3x + 4y – z = 24
4x + 3y + z = 25
x + 4y + 2z = 21

Pembahasan.
Contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel tersebut dapat diselesaikan dengan langkah langkah seperti di bawah ini:
3x + 4y – z = 24 . . . (persamaan 1)
4x + 3y + z = 25 . . . (persamaan 2)
x + 4y + 2z = 21 . . . (persamaan 3)

Langkah pertama yang perlu dilakukan yaitu mengeliminasi persamaan 1 dan 2 menjadi seperti berikut:
3x + 4y – z = 24
4x + 3y + z = 25   +
 7x + 7y      = 49
   x +   y       = 7 . . . (persamaan 4)

Cara menyelesaikan persamaan 3 variabel selanjutnya yaitu mengeliminasi persamaan 2 dan 3. Maka hasilnya akan menjadi:
4x + 3y + z = 25 |x 2| 8x + 6y + 2z = 50
x + 4y + 2z = 21 |x 1|   x + 4y + 2z = 21   –
                                       7x + 2y         = 29 . . . (persamaan 5)

Setelah itu mencari nilai x dengan mengeliminasi persamaan 4 dan 5 serta dilanjutkan mencari nilai y sekaligus. Sehingga:
    x + y = 7  |x2| 2x + 2y = 14
7x + 2y = 29|x1| 7x + 2y = 29  –
                              -5x          = -15
                                 x          = 3

x = 3 → x + y = 7
               3 + y = 7
                     y = 4

Setelah nilai x dan y ditemukan, kemudian mencari nilai z dengan mensubstitusikannya pada salah satu persamaan. Misalnya saja persamaan 1 sehingga hasilnya menjadi:
     3x + 4y – z = 24
3(3) + 4(4) – z = 24
        9 + 16 – z = 24
               25 – z = 24
                       z = 1
Jadi himpunan penyelesaian SPLTV (x, y, z) = (3, 4, 1).

Demikianlah penjelasan mengenai sistem persamaan linear tiga variabel beserta contoh soal SPLTV. Sistem persamaan linear 3 variabel ialah sistem persamaan yang memiliki tiga variabel dengan pangkat satu. Semoga artikel ini dapat bermanfaat dan terima kasih telah membaca materi SPLTV di atas.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *