Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Dengan Turunan Lengkap

Diposting pada

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Dengan Turunan Lengkap – Dalam pembahasan materi persamaan garis singgung pada umumnya dapat ditentukan menggunakan turunan, baik bentuknya nilai stasioner fungsi, kurva ataupun fungsi naik dan turun. Namun dalam pembahasan ini terdapat pembelajaran mengenai persamaan garis singgung kurva yang menggunakan turunan. Akan tetapi alangkah lebih baik jika anda memahami terlebih dahulu mengenai materi persamaan garis lurus maupun materi turunan fungsi.

Apakah kalian tau bagaimana cara menyelesaikan contoh soal persamaan garis singgung dengan turunan itu? Dalam kurva tersebut memang terkandung persamaan garis singgung. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep turunan. Dalam persamaan garis singgung pada kurva terdapat grafik yang berbentuk y = f(x). Dalam grafik tersebut terdapat titik tetap pada kurva y = f(x) yang dinyatakan dalam titik P. Kemudian adapula titik yang melakukan gerakan di sepanjang kurva dalam bentuk titik Q. Titik P dan titik Q ini akan dilalui oleh garis bernama tali bujur. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Dengan Turunan Lengkap
Grafik Fungsi f(x)

Dalam gambar di atas terdapat titik P yang memiliki garis singgung dari tali busur PQ pada kondisi limit saat gerakan titik Q mendekati P. Selain itu adapula titik Q yang mendekati titik P dimana titik P dimisalkan memiliki absis a dan absis titik Q dapat berupa a + h. Maka dapat diperoleh f(a) sebagai ordinat titik P dan f(a + h) sebagai ordinat titik Q. Grafik di atas merupakan bentuk ilustrasi penggunaan konsep turunan dalam persamaan garis singgung pada kurva. Nah pada kesempatan kali ini saya akan membagikan contoh soal persamaan garis singgung dengan turunan lengkap. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak penjelasan di bawah ini.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Dengan Turunan Lengkap

Seperti yang telah kita ketahui bahwa konsep turunan (diferensial) dapat dimanfaatkan atau diaplikasikan dalam Matematika seperti pada penentuan persamaan garis singgung dan gradien sebuah kurva. Konsep ini memang sangat bermanfaat dalam bidang geometri. Penggunaan konsep turunan dalam mencari gradien garis singgung tersebut disesuaikan dengan fakta bahwa gradien garik singgung sama dengan nilai turunan pada grafik fungsi di titik tertentu.

Baca juga : Rumus Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan Beserta Contoh Soal

Agar anda lebih paham mengenai materi persamaan garis singgung dengan turunan tersebut, maka saya akan membagikan beberapa contoh soal beserta pembahasannya. Adapun beberapa contoh soal persamaan garis singgung dengan turunan yaitu sebagai berikut:

1. Tentukan gradien garis g pada grafik fungsi f(x) = x² + 5x + 6 jika garis g disinggung di x = -1?

Pembahasan.
Diketahui fungsinya yaitu f(x) = x² + 5x + 6
Maka fungsi tersebut memiliki turunan pertama yaitu f'(x) = 2x + 5
Ketika x = -1, maka akan memperoleh garis singgung g seperti berikut ini:
m = f'(-1) = 2(-1) + 5 = 3
Jadi besar gradien garis g ialah 3.

2. Diketahu grafik fungsi g(x) = 4x² – x + 7 disinggung oleh garis k pada titik A(4, 18). Maka tentukan persamaan garis k tersebut?

Pembahasan.
Contoh soal persamaan garis singgung dengan turunan ini dapat diselesaikan dengan mencari turunan pertama dari g(x) terlebih dahulu. Adapun hasilnya yaitu:
g(x) = 4x² – x + 7
g'(x) = 8x – 1

Kemudian mencari gradien garis singgung k jika diperoleh titik A(4, 18), sehingga nilai x = 4, maka:
m = g'(4) = 8(4) – 1 = 31

m = 31 dan melalui titik (x1, y1) pada (4, 18) tersebut digunakan untuk mencari persamaan garis seperti di bawah ini:
y – y1 = m(x – x1)
y – 18 = 31(x – 4)
y – 18 = 31x – 124
       y = 31x – 106
Jadi persamaan garis k ialah y = 31x – 106.

Baca juga : Contoh Soal Debit Air Beserta Pembahasan Lengkap

3. Diketahui sebuah kurva disinggung oleh garis l di titik (2, 4) dengan persamaan y = x³ – 6x² + 8. Tentukan persamaan garis l tersebut?

Pembahasan.
Contoh soal persamaan garis singgung dengan turunan ini dapat diselesaikan dengan mencari turunan pertama dari y terlebih dahulu. Adapun hasilnya yaitu:
y = x³ – 6x² + 8
y’ = 3x² – 12x

Kemudian mencari gradien garis singgung l jika diperoleh titik (2, 4), sehingga nilai x = 2, maka:
m = y'(2) = 3(2²) – 12(2) = -12

m = -12 dan melalui titik (x1, y1) pada (2, 4) tersebut digunakan untuk mencari persamaan garis l seperti di bawah ini:
y – y1 = m(x – x1)
  y – 4 = -12(x – 2)
  y – 4 = -12x + 24
12x + y – 28 = 0
Jadi persamaan garis l tersebut ialah 12x + y – 28 = 0.

4. Diketahui sebuah persamaan di titik A yaitu y = x³ dengan ordinat 27. Tentukan persamaan garis singgung kurva tersebut?

Pembahasan.
Contoh soal persamaan garis singgung dengan turunan ini dapat diselesaikan dengan mencari nilai x pada ordinat 27 terlebih dahulu. Adapun hasilnya yaitu:
  y = x³
27 = x³
  x = 3, sehingga koordinat titik singgungnya (3, 27)

Kemudian mencari turunan pertama dari y, maka:
y = x³
y’ = 3x²

Lalu mencari gradien garis singgungnya jika diperoleh titik (3, 27), sehingga nilai x = 3, maka:
m = y'(3) = 3(3²) = 27

m = -27 dan melalui titik (x1, y1) pada (3, 27) tersebut digunakan untuk mencari persamaan garisnya seperti di bawah ini:
y – y1 = m(x – x1)
y – 27 = -27(x – 3)
y – 27 = -27x + 81
-27x + y – 108 = 0 (semua dikalikan dengan -1)
27x – y + 108 = 0
Jadi persamaan garisnya ialah 27x – y + 108 = 0.

Sekian contoh soal persamaan garis singgung dengan turunan lengkap yang dapat saya bagikan. Konsep turunan pada umumnya memang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal soal persamaan garis singgung seperti di atas. Semoga artikel ini dapat bermanfaat dan terima kasih telah berkunjung di blog ini.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *