Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Diposting pada

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola) – Dalam pelajaran Matematika terdapat pembahasan mengenai irisan kerucut. Materi matematika ini merupakan sebuah lokus dengan bentuk kurva dua dimensi dari semua titik. Terbentuknya kurva itu berasal dari sebuah kerucut yang beririsan dengan sebuah bidang. Apakah anda tahu apa saja macam macam irisan kerucut itu? Jenis jenis irisan kerucut pada dasarnya dapat dibagi menjadi beberapa bentuk seperti elips, hiperbola, lingkaran dan parabola. Setiap bentuk irisan kerucut ini memiliki rumusnya sendiri sendiri. Kerucut ialah bangun ruang yang memiliki bentuk alas berupa lingkaran. Kerucut memiliki sisi yang berjumlah dua yakni sisi lengkung yang dijadikan selimut kerucut dan sisi alas dengan bentuk lingkaran.

Apabila dari berbagai arah terjadi pengirisan kerucut, maka bentuk irisan yang dihasilkan dapat menjadi beberapa bangun. Bangun irisan kerucut ini menghasilkan bentuk elips, hiperbola, lingkaran maupun parabola. Untuk itulah bangun bangun ini dapat dijadikan menjadi jenis jenis irisan kerucut. Apakah anda tahu apa saja persamaan dalam materi irisan kerucut itu? Jika pemotongan kerucut dilakukan secara mendatar, maka potongan kerucut yang dihasilkan akan berbentuk lingkaran. Kemudian bentuknya akan menjadi parabola atau elips jika pemotongan kerucut mengarah pada sudut tertentu. Sedangkan bentuknya akan menjadi hiperbola apabila kerucut dipotong secara tegak.

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)
Hasil Potongan Irisan Kerucut

Pengertian irisan kerucut ialah lokus dengan bentuk kurva dua dimensi yang berasal dari semua titik dalam sebuah bidang hingga irisan kerucut ini dapat terbentuk. Irisan kerucut pertama kali ditemukan oleh Matematikawan Yunani bernama Apollonius dari Perga pada awal abad ke 2 SM yang dipelajari secara sistematik. Materi ini memang membentuk beberapa bangun lainnya. Setiap bangun irisan kerucut memiliki persamaan atau rumusnya sendiri sendiri. Pada kesempatan kali ini saya akan menjelaskan tentang materi irisan kerucut, baik bentuk potongan lingkaran, elips, hiperbola maupun parabola. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak di bawah ini.

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Ketika berada di bangku kelas 12 Sekolah Menengah Atas tentunya telah diajarkan mengenai irisan kerucut ini. Dalam materi tersebut terdapat rumus irisan kerucut disetiap bentuknya. Jenis jenis irisan kerucut yang menghasilkan bentuk berbeda beda ini tentunya memiliki persamaan yang tidak sama karena disesuaikan dengan bentuknya masing masing. Kemudian materi Matematika ini juga sering keluar dalam soal soal ujian, baik ujian Nasional maupun ujian Sekolah.

Baca juga : Contoh Soal Peluang Beserta Pembahasan Terlengkap

Seperti yang telah kita ketahui bahwa pengertian irisan kerucut adalah lokus dengan bentuk kurva dua dimensi yang berasal dari semua titik dalam sebuah bidang hingga irisan kerucut ini dapat terbentuk. Dari pengertian tersebut pastinya anda memiliki gambaran mengenai materi irisan kerucut. Di bawah ini terdapat pembahasan mengenai jenis jenis irisan kerucut. Berikut penjelasan selengkapnya:

Lingkaran

Bentuk irisan kerucut yang pertama ialah lingkaran. Lingkaran merupakan macam irisan kerucut yang terbentuk karena pemotongan suatu bidang dilakukan dengan arah mendatar. Dalam materi ini terdapat persamaan lingkaran dengan bentuk umum antara pusat dan jari jari yang berbeda. Persamaan lingkaran ini memiliki bentuk umum yang dapat dibagi menjadi dua jenis menurut pusatnya. Letak pusat lingkaran ada di sebuah titik koordinat kartesius P(a,b) ataupun di pusat koordinat kartesius O(0,0).

Persamaan lingkaran juga dapat berbentuk x² + y² + Ax + By + C = 0. Dalam materi irisan kerucut berbentuk lingkaran tersebut tentunya memiliki rumus yang berbeda beda setiap titiknya dalam koordinat kartesius. Di bawah ini terdapat rumus persamaan lingkaran yang berhasil di bentuk yaitu sebagai berikut:

Persamaan Lingkaran Jari Jari r dengan Pusat O(0,0)
Persamaan lingkaran yang pertama memiliki jari jari r dengan pusat O(0,0). Jika dinyatakan dalam bentuk rumus dan gambar, maka akan menjadi seperti di bawah ini:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Persamaan Lingkaran Jari Jari r dengan Pusat P(a,b)
Persamaan lingkaran selanjutnya memiliki jari jari r dengan pusat P(a,b). Jika dinyatakan dalam bentuk rumus dan gambar, maka akan menjadi seperti di bawah ini:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Bentuk Umum pada Persamaan Lingkaran
Selanjutnya saya akan membagikan materi irisan kerucut berbentuk persamaan lingkaran secara umum. Di bawah ini terdapat persamaan lingkaran secara umum yaitu meliputi:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Elips

Jenis irisan kerucut selanjutnya ialah elips. Elips memiliki bentuk yang menyerupai lingkaran yang dipipihkan. Elips tersebut memiiki bagian bagian penting seperti sumbu minor, sumbu mayor, puncak elips, latus rectum, pusat elips, fokus elips dan sebagainya. Elips ini dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu elips vertikal dan elips horizontal.

Elips Horizontal
Jenis elips yang pertama ialah elips horizontal. Elips tersebut memang termasuk dalam jenis materi irisan kerucut yang bentuknya seperti pipihan lingkaran. Untuk memahami tentang elips horizontal ini, maka perhatikan gambar bagian bagian elips horizontal di bawah ini yaitu sebagai berikut:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Elips horizontal pada dasarnya masih dapat dibagi menjadi dua jenis berdasarkan pusatnya. Jenis irisan kerucut ini dapat berupa elips horizontal dengan pusat O(0,0) dan dengan pusat P(p,q). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Baca juga : Tabel Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Berdasarkan gambar elips horizontal di atas, kita dapat menemukan persamaan persamaan materi irisan kerucut di dalamnya. Adapun persamaan persamaan pada elips horizontal yaitu sebagai berikut:

Berpusat di O(0,0)

  • Fokus memiliki persamaan (±c,0).
  • Sumbu Mayor memiliki panjang 2a.
  • Sumbu Minor memiliki panjang 2b
  • Puncak memiliki persamaan (±a,0) dan (0,±b)
  • Memiliki persamaan secara umum berbentuk Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Loctus Rectumnya memiliki panjang Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Eksentrisitasnya dapat berupa e = c / a.

Berpusat di P(p,q)

  • Fokus memiliki persamaan (p ± c,q).
  • Sumbu Mayor memiliki panjang 2a.
  • Sumbu Minor memiliki panjang 2b
  • Puncak memiliki persamaan (p ± a,q) dan (p,q ± b)
  • Memiliki persamaan secara umum berbentuk Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Loctus Rectumnya memiliki panjang Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Eksentrisitasnya dapat berupa e = c / a.

Elips Vertikal
Jenis elips selanjutnya ialah elips vertikal. Elips tersebut memang termasuk dalam jenis materi irisan kerucut yang bentuknya seperti pipihan lingkaran. Untuk memahami tentang elips vertikal ini, maka perhatikan gambar bagian bagian elips vertikal di bawah ini yaitu sebagai berikut:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Elips vertikal pada dasarnya masih dapat dibagi menjadi dua jenis berdasarkan pusatnya. Jenis irisan kerucut ini dapat berupa elips vertikal dengan pusat O(0,0) dan dengan pusat P(p,q). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Berdasarkan gambar elips vertikal di atas, kita dapat menemukan persamaan persamaan materi irisan kerucut di dalamnya. Adapun persamaan persamaan pada elips vertikal yaitu sebagai berikut:

Berpusat di O(0,0)

  • Fokus memiliki persamaan (±c,0).
  • Sumbu Mayor memiliki panjang 2a.
  • Sumbu Minor memiliki panjang 2b
  • Puncak memiliki persamaan (±a,0) dan (0,±b)
  • Memiliki persamaan secara umum berbentuk Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Loctus Rectumnya memiliki panjang Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Eksentrisitasnya dapat berupa e = c / a.

Berpusat di P(p,q)

  • Fokus memiliki persamaan (p ± c,q).
  • Sumbu Mayor memiliki panjang 2a.
  • Sumbu Minor memiliki panjang 2b
  • Puncak memiliki persamaan (p ± a,q) dan (p,q ± b)
  • Memiliki persamaan secara umum berbentuk Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Loctus Rectumnya memiliki panjang Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola).
  • Eksentrisitasnya dapat berupa e = c / a.

Dalam elips terdapat fokus (hubungan a, b, dan c) yang berkaitan dengan puncak. Hubungan ini akan membentuk persamaan seperti di bawah ini:

  • Persamaan elips horizontal berupa a² = b² + c², apabila a > b.
  • Persamaan elips vertikal berupa b² = a² + c², apabila a < b.

Baca juga : Cara Menentukan Nilai Stasioner Beserta Contoh Soal

Parabola

Materi irisan kerucut selanjutnya ialah parabola. Parabola merupakan jenis irisan kerucut yang bentuknya seperti persamaan kuadrat dengan kurva mulusnya. Dalam materi ini terdapat jenis parabola yang bentuknya terbuka ke samping kiri atau kanan dan terbuka ke bawah atau ke atas. Parabola tersebut memiliki bentuk yang disesuaikan dengan pembentukan persamaannya. Jenis jenis parabola ini dapat berupa parabola vertikal dan parabola horizontal. Berikut penjelasan selengkapnya:

Parabola Dengan Puncak O(0,0)
Jenis parabola yang pertama memiliki puncak O(0,0). Jika dinyatakan dalam bentuk gambar, maka parabola vertikal dan parabola horizontalnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Materi irisan kerucut berbentuk parabola ini juga memiliki persamaannya secara umum, baik parabola vertikal maupun horizontal. Berikut persamaan parabola secara umum yaitu sebagai berikut:

Parabola Horizontal Puncak O(0,0)

  • Memiliki fokus berupa (p,0).
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa x = -p.
  • Persamaannya memiliki bentuk umum y² = 4px.

Parabola Vertikal Puncak O(0,0)

  • Memiliki fokus berupa (0,p).
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa y = -p.
  • Persamaannya memiliki bentuk umum x² = 4py.

Parabola Dengan Puncak P(a,b)
Jenis parabola selanjutnya memiliki puncak P(a,b). Jika dinyatakan dalam bentuk gambar, maka parabola vertikal dan parabola horizontalnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Materi irisan kerucut berbentuk parabola ini juga memiliki persamaannya secara umum, baik parabola vertikal maupun horizontal. Berikut persamaan parabola secara umum yaitu sebagai berikut:

Parabola Horizontal Puncak P(a,b)

  • Memiliki fokus berupa (a + p,b).
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa x = a – p.
  • Persamaannya memiliki bentuk umum (y – b)² = 4p(x – a).

Parabola Vertikal Puncak P(a,b)

  • Memiliki fokus berupa (a,b + p).
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa y = b – p.
  • Persamaannya memiliki bentuk umum (x – a)² = 4p(y – b).

Hiperbola

Materi irisan kerucut selanjutnya ialah hiperbola. Parabola merupakan jenis irisan kerucut yang disusun oleh beberapa komponen seperti asimtot, titik fokus, kurva, titik puncak, direktris (garis arah) dan sebagainya. Dalam hiperbola ini memang terdapat berbagai komponen penyusun yang saling berhubungan sehingga terbentuk persamaan rumus umumnya. Jenis jenis hiperbola tersebut dapat berupa hiperbola horizontal maupun hiperbola vertikal, baik pusatnya di O(0,0) ataupun P(p,q).

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Hiperbola Dengan Pusat O(0,0)
Jenis hiperbola yang pertama memiliki pusat O(0,0). Jika dinyatakan dalam bentuk gambar, maka hiperbola vertikal dan hiperbola horizontalnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Materi irisan kerucut berbentuk hiperbola ini juga memiliki persamaannya secara umum, baik hiperbola vertikal maupun hiperbola horizontal. Berikut persamaan hiperbola secara umum yaitu sebagai berikut:

Hiperbola Horizontal Pusat O(0,0)

  • Memiliki fokus berupa (±c,0).
  • Memiliki puncak berupa (±a,0)
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa x = ± a²/c.
  • Memiliki asimtot berupa y = ± b/a.
  • Memiliki eksentrisitas e = c/a.
  • Loctus Rectumnya memiliki panjang LR =|2b²/a|
  • Persamaannya memiliki bentuk umum x²/a² – y²/b² = 1.

Hiperbola Vertikal Pusat O(0,0)

  • Memiliki fokus berupa (0,±c).
  • Memiliki puncak berupa (0,±a)
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa x = ± a²/c.
  • Memiliki asimtot berupa y = ± b/a.
  • Memiliki eksentrisitas e = c/a.
  • Loctus Rectumnya memiliki panjang LR =|2b²/a|
  • Persamaannya memiliki bentuk umum x²/b² – y²/a² = 1.

Hiperbola Dengan Pusat P(p,q)
Materi irisan kerucut jenis hiperbola selanjutnya memiliki pusat P(p,q). Jika dinyatakan dalam bentuk gambar, maka hiperbola vertikal dan hiperbola horizontalnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Materi Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola dan Hiperbola)

Materi irisan kerucut berbentuk hiperbola ini juga memiliki persamaannya secara umum, baik hiperbola vertikal maupun hiperbola horizontal. Berikut persamaan hiperbola secara umum yaitu sebagai berikut:

Hiperbola Horizontal Pusat P(p,q)

  • Memiliki fokus berupa (p ± c,q).
  • Memiliki puncak berupa (p ± a,q)
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa y = p ± a²/c.
  • Memiliki asimtot berupa y – q = ± b/a(x – p).
  • Loctus Rectumnya memiliki panjang LR =|2b²/a|
  • Persamaannya memiliki bentuk umum (x – p)²/a² – (y – q)²/b² = 1.

Hiperbola Vertikal Pusat P(p,q)

  • Memiliki fokus berupa (p,q ± c).
  • Memiliki puncak berupa (p,q ± a)
  • Memiliki direktris (garis arah) berupa y = q ± a²/c.
  • Memiliki asimtot berupa y – q = ± b/a(x – p).
  • Loctus Rectumnya memiliki panjang LR =|2b²/a|
  • Persamaannya memiliki bentuk umum (x – p)²/b² – (y – q)²/a² = 1.

Demikianlah penjelasan mengenai materi irisan kerucut, baik bentuk potongan lingkaran, elips, hiperbola maupun parabola. Irisan kerucut dapat diartikan sebagai lokus dengan bentuk kurva dua dimensi yang berasal dari semua titik dalam sebuah bidang hingga irisan kerucut ini dapat terbentuk. Semoga artikel ini dapat bermanfaat dan terima kasih telah berkunjung di blog ini.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *